Gauss y el Domingo de Pascua
Las vacaciones de semana santa nos dan un respiro de la actividad laboral o académica, independientemente de nuestro credo. Pero, ¿por qué no utilizarlas para hacer matemáticas?, o mejor aún, indagar la relación de semana santa con las matemáticas.
Algo que todos notamos, es que este asueto no tiene fecha fija. Cada año los días denominados santos cambian su ubicación en el calendario. Lo que pocos saben es que lo que determina este movimiento es el Domingo de Pascua (o de Resurrección), pero lo que más se ignora es que existe un algoritmo ideado por el mismísimo Gauss para establecer la fecha exacta de ese día.
Antes un poco de historia. Con la intención de ordenar la
celebración, el Concilio de Nicea en el año 325 estableció la siguiente
norma: la pascua tendría lugar el primer domingo posterior al día 14 del
mes lunar (aproximadamente la luna llena) que coincide o sigue al 21 de
Marzo, por lo tanto sería entre el 22 de Marzo y el 25 de Abril.
Aún así el computus (cálculo de la fecha del Domingo de Pascua) resultaba impreciso, principalmente por las siguientes razones:
- La iglesia, institución romana, utilizaba el calendario solar juliano (fue introducido por Julio Cesar) que entró en vigor el año 45 a.C.
- La iglesia era fuertemente influenciada por la cultura judía (de donde sacó la festividad de la Pascua) que se regía con el calendario lunar de los israelitas.
Por lo tanto el problema era: establecer una fecha de un calendario lunar en otro que se regía por el sol.
Afortunadamente (en el siglo V a.C.) Metón, astrónomo griego, descubrió que 19 años solares ($19\times 365.2425=6939.60$), coincidían casi exactamente con 235 ciclos lunares ($235\times 29.53=6939.55$).
Esto significa que cada 19 años la luna repite su movimiento, a esto se le llama ciclo metónico. Por lo tanto cada año se puede hacer corresponder con un número del 1 al 19 llamado número áureo (nada que ver con la razón áurea), llamado así porque los griegos grabaron este ciclo con letras de oro en el templo dedicado a Minerva. Mediante simple aritmética modular podemos establecer el número áureo de cualquier año: al año 1 de nuestra era le corresponde el número áureo 1; al año 2, el 2; al año 19, el 19; pero al año 20 le corresponde nuevamente el 1 (el ciclo comienza). O de otra forma, el número de oro de un año $x$ lo da el residuo de dividir $x$ entre 19 (en caso de residuo cero se asigna el número áureo 19).
Si $n$ es el número de oro y $x$ el año, se puede escribir:
$$n\equiv x \bmod{19}$$
Que se lee, $n$ es congruente con $x$ módulo 19 y que vamos a interpretar diciendo que $n$ es el residuo de dividir $x$ entre $19$.
Existe una corrección a la fórmula anterior dado que este sistema fue introducido por el Emperador Dionisio Exigus en el año 532 asignándole a este año número de oro 1 (cuando en realidad es de 19). Por lo tanto el número de oro se calcula mediante la expresión:
$$n\equiv x + 1 \bmod{19}$$
El número de oro se puede emplear para determinar el estado de la luna y de esta manera asignar una fecha precisa al domingo de resurrección.
Una forma de hacer esto es utilizando la epacta (números de días desde la última luna nueva hasta el primero de enero). Esta se calcula restándole uno al número áureo, multiplicando por once (por el desfase entre el año solar de $365.25$ y los doce meses lunares de $354$) y encontrando el residuo de la división del resultado entre 30. De manera más compacta, si $n$ es el número áureo y $e$ la epacta:
$$e\equiv 11\left ( n-1 \right ) \bmod{30}$$
También se puede calcular la epacta de una fecha específica con la siguiente regla:
- A la Epacta del 1 de Enero ($e$) le sumaremos 1 por cada mes hasta esa fecha a partir de Marzo, incluyendo también Marzo.
- Al resultado anterior, le sumaremos también el día del mes, y así obtendremos la Edad Lunar para esa fecha en concreto
- Si el número es mayor que 29 se divide entre treinta y se toma el residuo.
$$E\equiv e+N+d \bmod{30}$$
La epacta o edad de la luna nos permite calcular la fecha exacta del domingo de Pascua de la siguiente manera: Para este año ($x=2018$) el número de oro es:
$$n\equiv 2018 + 1 \bmod{19}\equiv 2019 \bmod{19}$$
Por lo tanto $n=5$ (el residuo de dividir 2019 entre 19)
La epacta del primero de enero del 2018 es:
$$e\equiv 11\left ( 5-1 \right ) \bmod{30}\equiv 44 \bmod{30}$$
De donde $e=14$ (el residuo de dividir 44 entre 30), han pasado 14 días desde la última luna nueva hasta el primero de enero.
La epacta del 21 de Marzo de este año es (con los valores $e=14$, $N=1$ y $d=21$):
$$E\equiv 14+1+21 \bmod{30}\equiv 36 \bmod{30}$$
Obtenemos, $E=6$, esto significa que el mes lunar del 21 de Marzo no ha pasado por el 14, le faltan ocho días y coincidirá con el 29 de Marzo y siguiendo la norma del Concilio de Nicea el domingo de Resurrección será el primer domingo posterior a esta fecha, que es: el primero de Abril.
Utilizando todo esto ¿pueden tratar de encontrar la fecha del domingo de Pascua para el 2019?
Una forma alterna para calcular esta fecha fue elaborada por Gauss, pero antes de exponerla hay que aclarar algunas cosas:
- Estamos interpretando $a\equiv b \bmod{n}$, diciendo que $a$ es el residuo de dividir $b$ entre $n$
- La expresión $\left \lfloor n \right \rfloor$ significa: el mayor entero menor o igual a $n$. Esto quiere decir que si $n$ es entero nos arroja su mismo valor, pero si es una expresión decimal, nos arroja el entero más próximo a su izquierda, ejemplo: $\left \lfloor 3.45 \right \rfloor= 3$
Ahora veamos el algoritmo de Gauss que nos evita trabajar con números áureos y epactas:
Se definen 10 variables, tomando $A$ como el año:
$$a\equiv A\bmod{19}$$
$$b\equiv A\bmod{4}$$
$$c\equiv A\bmod{7}$$
$$k= \left \lfloor \frac{A}{100} \right \rfloor$$
$$p= \left \lfloor \frac{13+8k}{25} \right \rfloor$$
$$q= \left \lfloor \frac{k}{4} \right \rfloor$$
$$M\equiv 15-p+k-q\bmod{30}$$
$$N\equiv 4+k-q\bmod{7}$$
$$d\equiv 19a+M\bmod{30}$$
$$e\equiv 2b+4c+6d+N\bmod{7}$$
Con esta información:
Si $d+e< 10$ el domingo de Pascua es el día $d+e+22$ de Marzo.
Si $d+e>10$ el domingo de Pascua es el día $d+e-9$ de Abril.
Y hemos terminado sólo hace falta agregar dos excepciones:
- Si obtenemos el 26 de abril nos salimos del rango, por lo que el Domingo de Resurrección será el 19 de abril (una semana antes).
- Si obtenemos el 25 de abril con d = 28, e = 6 y a > 10, el Domingo de Resurrección será el 18 de abril (la semana anterior).
No está muy claro de donde obtuvo Gauss sus variables, pero todo parece indicar que en algo influyó el sistema de datación de Beda el Venerable que para calcular la fecha del Domingo de Pascua, utilizó un ciclo de 532 años -resultante de multiplicar el ciclo metónico (19 años) por el de los años bisiestos (4) y por el de la semana (7 días)-, al cabo del cual las fechas de la Pascua se repiten en el mismo orden.
En nuestro tiempo el cálculo de estas 10 variables se reduce a 5 ya que $p$, $q$ y $k$ sólo se utilizan para encontrar $M$ y $N$ y se sabe que desde el año 1900 hasta el 2100 tomarán los valores de 24 y 5 respectivamente:
Vamos a calcular la fecha del Domingo de Resurrección para el próximo año encontrando las 10 variables para demostrar que los valores de $M$ y $N$ son los que mencionamos:
$A=2019$, por lo tanto después de dividir esta cantidad entre 19, 4 y 7 obtenemos:
$$a=5$$
$$b=3$$
$$c=3$$
$$k= \left \lfloor \frac{2019}{100} \right \rfloor= \left \lfloor 20.19 \right \rfloor=20$$
$$p= \left \lfloor \frac{13+8(20)}{25} \right \rfloor=\left \lfloor 6.92 \right \rfloor=6$$
$$q= \left \lfloor \frac{20}{4} \right \rfloor=5$$
De las expresiones:
$$M\equiv 15-6+20-5\bmod{30}$$
$$N\equiv 4+20-5\bmod{7}$$
Obtenemos:
$$M=24$$
$$N=5$$
Ya sólo faltan $d$ y $e$, como sabemos:
$$d\equiv 19(5)+24\bmod{30}$$
De aquí se obtiene:
$$d=29$$
Con este valor calculamos $e$ de la expresión:
$$e\equiv 2(3)+4(3)+6+5\bmod{7}$$
Que nos da:
$$e=1$$
Y como $29+1>10$ el Domingo de Pascua del 2019 será el día $29+1-9= 21$ de Abril.
Comentarios
Publicar un comentario