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lunes, 11 de diciembre de 2017

Hasta el cálculo y más allá (Primera parte)

Existe la creencia de que el cálculo  representan el punto álgido de lás matemáticas. Así como intuimos (algunos) que no hay vida después de la muerte; piensan (algunos) que no hay matemáticas después del cálculo. Obviamente esto demuestra un desconocimiento profundo de la historia, escencia y alcance de esta área del intelecto.
Claro que hay mates después de las derivadas e integrales, sin embargo en esta entrada no hablaremos de ellas,  nos enfocaremos a algunas cuestiones poco conocidas del cálculo convencional y ha esbozar la existencia de otro tipo de cálculo. No vamos a utilizar definiciones rigurosas via épsilones y sumatorias, ni haremos uso del teorema fundamental.
La primera parte de este trabajo  se me ocurrió mientra explicaba a mis alumnos que algunas funciones admiten primera, segunda, tercera y en general, derivadas de orden superior, es decir, que se pueden derivar una vez, dos veces, tres veces y etc. "¿y si la derivo media vez?" me  preguntó  el chistosito del grupo. Me pareció interesante que un joven sin ningún interés por las mates se hiciera la misma pregunta (aunque no con la misma intención) que L´Hopital se planteará en 1965 y  respondida por Leibniz de una manera tan genial, que hasta ahora nadie ha dudado en citar: "esto (la existencia de la media derivada) conduciría aparentemente a una paradoja de la cual algún día serán extraídas consecuencias muy útiles".
Euler (1730) y Laplace (1812) metieron su cuchara en esta sopa, pero el primer trabajo serio sobre el tema fue el de Lacroix (1819), que a partir de la función $$f\left ( x \right )=x^{n}$$ y la expresión de la $m$-ésima derivada:
$$\frac{d^{m}f}{dx^{m}}=\frac{n!}{\left ( n-m \right )!}x^{n-m}$$ intentó introducir valores no enteros de $m$, pero como se puede observar, esto nos lleva a operar con factoriales no comunes.
Para ejemplificar esto intentaremos obtener  la media derivada de:  $$f\left ( x \right )=x$$
Para esto tomamos $n=1$ y $m=\frac{1}{2}$ en la fórmula anterior.
$$\frac{d^{\frac{1}{2}}f}{dx^{\frac{1}{2}}}=\frac{1!}{\left ( 1-\frac{1}{2} \right )!}x^{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\left ( \frac{1}{2} \right )!}x^{\frac{1}{2}}$$

La existencia de esta media derivada queda supeditada a la existencia del factorial de un medio.   Afortunadamente para Lacroix,  ya Euler (1729) había desarrollado la generalización de la función factorial que Legendre (1814) denominó función gamma, con las siguiente propiedad:
$$\Gamma \left ( x+1 \right )=x \Gamma \left ( x \right )$$
Que nos lleva directamente a:
$$ \Gamma \left ( x+1 \right )=x!$$
Y dado que esta función está definida para cualquier valor real positivo, vemos que si $x=\frac{1}{2}$  esta última expresión nos da:
$$\left ( \dfrac{1}{2} \right )!= \Gamma \left ( \frac{1}{2}+1 \right )= \Gamma \left ( \frac{3}{2} \right )$$
El factorial de un medio requiere a la función gamma de tres medios, Por lo tanto, tomando en cuenta que: $$\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right )= \sqrt{\pi }$$
Y con la propiedad entes mencionada:
$$\Gamma \left ( \frac{3}{2} \right )= \Gamma \left ( 1+\frac{1}{2} \right )= \frac{1}{2}\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right )=\frac{1}{2}\sqrt{\pi }=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$$
Hemos encontrado el factorial de un medio:
$$\left ( \dfrac{1}{2} \right )!=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$$
Con esto obtenemos que la media derivada de $f\left ( x \right )=x$ es :
$$\frac{d^{\frac{1}{2}}f}{dx^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\left ( \frac{\sqrt{\pi }}{2} \right )}x^{\frac{1}{2}}=\frac{2}{\left ( \sqrt{\pi } \right )}x^{\frac{1}{2}}=2\sqrt{\frac{x}{\pi}}$$
Es obvio que para que esto tenga sentido, si a esta última expresión le aplicamos otra media derivada el resultado sería uno (la derivada completa de  $f\left ( x \right )=x$).¿Puede el lector intentar corroborar esto?.
En general la fórmula de la derivada $m$-ésima es:
$$\frac{d^{m}f}{dx^{m}}=\frac{\Gamma \left ( n+1 \right )}{\Gamma \left ( n-m+1 \right )}x^{n-m}$$
Donde $m$ puede ser cualquier número real mayor que cero.
Esto era apenas el principio, la fórmula anterior sólo es aplicable a "x a la n" y era únicamente un formalismo sin ninguna aplicación. Fue Abel (1823) el primero en utilizar el cálculo fraccional (como se llamó a este incipiente cálculo) al resolver  una integral que surgió en la formulación del problema de la tautócrona. Posteriormente Lioville (1832), atraido por el trabajo de Abel, dio la primer definición de derivada de orden arbitrario para cualquier función. Pero fue Laurent el primero en dar una definición formal del agrado de los matemáticos modernos. El orden arbitrario no es exclusivo del cálculo diferencial, tambien se puede integrar una función las veces (o una fracción de las veces) que queramos.
En la actualidad el Cálculo Fraccionario tiene muchas aplicaciones, como bien lo dijo Leibniz, por ejemplo Leidy Yoana Medina y Francisco Cabrera (Departamento de Matemáticas, Grupo de Investigación Pangea, Universidad de Pamplona), lo aplican en la investigación de la pérdida de energía en la propagación de las ondas sísmicas.
No soy adepto de las aplicaciones pero talvez alguno de mis contados lectores si. En particular considero que, por si sola, la poética idea de una $\pi$-ésima derivada hace que todo esto valga la pena.

Esta entrada participa en la edición 8.6 del Carnaval Matemático, cuyo anfitrión es, en esta ocasión, Matemático Soriano.

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