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domingo, 1 de abril de 2018

Gauss y el Domingo de Pascua

Las vacaciones de semana santa nos dan un respiro de la actividad laboral o académica, independientemente de nuestro credo. Pero, ¿por qué no utilizarlas para hacer matemáticas?, o mejor aún, indagar la relación de semana santa con las matemáticas. 
Algo que todos notamos, es que este asueto no tiene fecha fija. Cada año los días denominados santos cambian su ubicación en el calendario. Lo que pocos saben es que lo que determina este movimiento es el Domingo de Pascua (o de Resurrección), pero lo que más se ignora es que existe un algoritmo ideado por el mismísimo Gauss para establecer la fecha exacta de ese día.
Antes un poco de historia. Con la intención de ordenar la celebración, el Concilio de Nicea en el año 325 estableció la siguiente norma: la pascua tendría lugar el primer domingo posterior al día 14 del mes lunar (aproximadamente la luna llena) que coincide o sigue al 21 de Marzo, por lo tanto sería entre el 22 de Marzo y el 25 de Abril.
 
Aún así el computus (cálculo de la fecha del Domingo de Pascua) resultaba impreciso, principalmente por las siguientes razones:
  • La iglesia, institución romana, utilizaba el calendario solar juliano (fue introducido por Julio Cesar) que entró en vigor el año 45 a.C.
  • La iglesia era fuertemente influenciada por la cultura judía (de donde sacó la festividad de la Pascua) que se regía con el calendario lunar de los israelitas.
Por lo tanto el problema era: establecer una fecha de un calendario lunar en  otro que se regía por el sol.

Afortunadamente (en el siglo V a.C.) Metón, astrónomo griego, descubrió que 19 años solares ($19\times 365.2425=6939.60$), coincidían casi exactamente con 235 ciclos lunares ($235\times 29.53=6939.55$).
Esto significa que cada 19 años la luna repite su movimiento, a esto se le llama ciclo metónico. Por lo tanto cada año se puede hacer corresponder con un número del 1 al 19 llamado número áureo (nada que ver con la razón áurea), llamado así porque los griegos grabaron este ciclo con letras de oro en el templo dedicado a Minerva. Mediante simple aritmética modular podemos establecer el número áureo de cualquier año: al año 1 de nuestra era le corresponde el número áureo 1; al año 2, el 2; al año 19, el 19; pero al año 20 le corresponde nuevamente el 1 (el ciclo comienza). O de otra forma, el número de oro de un año $x$ lo da el residuo de dividir $x$ entre 19 (en caso de residuo cero se asigna el número áureo 19). 

Si $n$ es el número de oro y $x$ el año, se puede escribir:
$$n\equiv x \bmod{19}$$
Que se lee, $n$ es congruente con $x$ módulo 19 y que vamos a interpretar diciendo que $n$ es el residuo de dividir $x$ entre $19$. 
Existe una corrección a la fórmula anterior dado que este sistema fue introducido por el Emperador Dionisio Exigus en el año 532 asignándole a este año número de oro 1 (cuando en realidad es de 19). Por lo tanto el número de oro se calcula  mediante la expresión:

$$n\equiv x + 1 \bmod{19}$$

El número de oro se puede emplear para determinar el estado de la luna y de esta manera asignar una fecha precisa al domingo de resurrección.
Una forma de hacer esto es utilizando la epacta (números de días desde la última luna nueva hasta el primero de enero). Esta se calcula restándole uno al número áureo, multiplicando por once (por el desfase entre el año solar de $365.25$ y los doce meses lunares de $354$) y encontrando el residuo de la división del resultado entre 30. De manera más compacta, si $n$ es el número áureo y $e$ la epacta:
$$e\equiv 11\left ( n-1 \right ) \bmod{30}$$

También se puede calcular la epacta de una fecha específica con la siguiente regla:

  • A la Epacta del 1 de Enero ($e$) le sumaremos 1 por cada mes hasta esa fecha a partir de Marzo, incluyendo también Marzo.
  • Al resultado anterior, le sumaremos también el día del mes, y así obtendremos la Edad Lunar para esa fecha en concreto 
  • Si el número es mayor que 29 se divide entre treinta y se toma el residuo. 
Y podemos escribirla de la siguiente manera: Si $E$ es la epacta de una fecha específica , $e$  la  del primero de Enero, $N$ el número de meses desde Marzo hasta el mes de la fecha en cuestión (contando a Marzo) y $d$ el día del mes, tenemos:
 $$E\equiv e+N+d \bmod{30}$$
 La epacta o edad de la luna nos permite calcular la fecha exacta del domingo de Pascua de la siguiente manera: Para este año ($x=2018$) el número de oro es:
$$n\equiv 2018 + 1 \bmod{19}\equiv 2019 \bmod{19}$$
Por lo tanto $n=5$ (el residuo de dividir 2019 entre 19)
La epacta del primero de enero del 2018 es:
$$e\equiv 11\left ( 5-1 \right ) \bmod{30}\equiv 44 \bmod{30}$$
De donde $e=14$ (el residuo de dividir  44 entre 30), han pasado 14 días desde la última luna nueva hasta el primero de enero.
La epacta del 21 de Marzo de este año es (con los valores $e=14$, $N=1$ y $d=21$):
$$E\equiv 14+1+21 \bmod{30}\equiv 36 \bmod{30}$$
Obtenemos, $E=6$, esto significa que el mes lunar del 21 de Marzo no ha pasado por el 14, le faltan ocho días y coincidirá con el 29 de Marzo y siguiendo la norma del Concilio de Nicea el domingo de Resurrección será el primer domingo posterior a esta fecha, que es: el primero de Abril.

Utilizando todo esto ¿pueden tratar de encontrar la fecha del domingo de Pascua para el 2019?

Una forma alterna para calcular esta fecha fue elaborada por Gauss, pero antes de exponerla hay que aclarar algunas cosas:
  • Estamos interpretando $a\equiv b \bmod{n}$, diciendo que $a$ es el residuo de dividir $b$ entre $n$
  • La expresión  $\left \lfloor n \right \rfloor$ significa: el mayor entero menor o igual a $n$. Esto quiere decir que si $n$ es entero nos arroja su mismo valor, pero si es una expresión decimal, nos arroja el entero más próximo a su izquierda, ejemplo: $\left \lfloor 3.45 \right \rfloor= 3$

Ahora veamos el algoritmo de Gauss que nos evita trabajar con números áureos y epactas:

Se definen 10 variables, tomando $A$ como el año:

$$a\equiv A\bmod{19}$$
$$b\equiv A\bmod{4}$$
$$c\equiv A\bmod{7}$$
$$k= \left \lfloor \frac{A}{100} \right \rfloor$$
$$p= \left \lfloor \frac{13+8k}{25} \right \rfloor$$
$$q= \left \lfloor \frac{k}{4} \right \rfloor$$
$$M\equiv 15-p+k-q\bmod{30}$$
$$N\equiv 4+k-q\bmod{7}$$
$$d\equiv 19a+M\bmod{30}$$
$$e\equiv 2b+4c+6d+N\bmod{7}$$

Con esta información:

Si $d+e< 10$ el domingo de Pascua es el día  $d+e+22$ de Marzo.
Si $d+e>10$ el domingo de Pascua es el día  $d+e-9$ de Abril.

Y hemos terminado sólo hace falta agregar dos excepciones:
  • Si obtenemos el 26 de abril nos salimos del rango, por lo que el Domingo de Resurrección será el 19 de abril (una semana antes). 
  • Si obtenemos el 25 de abril con d = 28, e = 6 y a > 10, el Domingo de Resurrección será el 18 de abril (la semana anterior). 
No está muy claro de donde obtuvo Gauss sus variables, pero todo parece indicar que en algo influyó el sistema de datación de Beda el Venerable que para calcular la fecha del Domingo de Pascua,  utilizó un ciclo de 532 años -resultante de multiplicar el ciclo metónico (19 años) por el de los años bisiestos (4) y por el de la semana (7 días)-, al cabo del cual las fechas de la Pascua se repiten en el mismo orden.

En nuestro tiempo el cálculo de estas 10 variables se reduce a 5 ya que $p$, $q$ y $k$ sólo se utilizan para encontrar $M$ y $N$ y se sabe que desde el año 1900 hasta el 2100 tomarán los valores de 24 y 5 respectivamente:

Vamos a calcular la fecha del Domingo de Resurrección para el próximo año encontrando las 10 variables para demostrar que los valores de $M$ y $N$ son los que mencionamos:

$A=2019$, por lo tanto después de dividir esta cantidad entre 19, 4 y 7 obtenemos:
$$a=5$$
$$b=3$$
$$c=3$$
$$k= \left \lfloor \frac{2019}{100} \right \rfloor= \left \lfloor 20.19 \right \rfloor=20$$
$$p= \left \lfloor \frac{13+8(20)}{25} \right \rfloor=\left \lfloor 6.92 \right \rfloor=6$$ 
$$q= \left \lfloor \frac{20}{4} \right \rfloor=5$$
De las expresiones:
$$M\equiv 15-6+20-5\bmod{30}$$
$$N\equiv 4+20-5\bmod{7}$$
Obtenemos:
$$M=24$$
$$N=5$$

Ya sólo faltan $d$ y $e$, como sabemos:
$$d\equiv 19(5)+24\bmod{30}$$
De aquí se obtiene:
$$d=29$$
Con este valor calculamos $e$ de la expresión:
$$e\equiv 2(3)+4(3)+6+5\bmod{7}$$
Que nos da:
$$e=1$$
Y como $29+1>10$ el Domingo de Pascua del 2019 será el día  $29+1-9= 21$ de Abril.







domingo, 25 de febrero de 2018

Teselados I

En su versión más simple, teselar significa cubrir una superficie (también puede ser el espacio pero de eso hablaremos después) con elementos regulares o irregulares, sin dejar resquicios y sin sobreponerse.

A un arreglo de formas bidimensionales que cumplan esas características se le llama teselado y se puede clasificar de la siguiente manera:

Teselados Periódicos
  
Son aquellos que tienen traslaciones que los hacen coincidir con ellos mismos. Tenemos los siguientes casos:
  • Teselados Regulares: El plano se cubre con un solo tipo de polígono regular (los que tienen lados y ángulos iguales).
  • Teselado Semirregular: Este cubrimiento contiene más de un polígono regular, con la condiciòn de que el arreglo de polígonos sea el mismo en cada vértice.
  • Teselado Demirregular: Utiliza más de un polígono regular como en el caso anterior pero el patrón no se repite en cada vértice.
  • Teselado Irregular: Es el que no contiene polígonos regulares.

Teselados Aperiódicos 

Son aquellos que no tienen tienen traslaciones que los hagan coincidir con ellos mismos.

Si algo no quedó claro, en esta y próximas entradas vamos a estudiar cada uno de ellos.

Para comenzar analizaremos los teselados regulares y descubriremos las condiciones que deben cumplir los polígonos regulares para teselar. Iniciamos con pentágonos: 




Como podemos observar nos queda un resquicio donde, de ninguna manera podemos insertar otro pentágono. ¿Qué podemos aprender de esto? Vamos a enfocarnos en los ángulos. La fórmula para obtener el ángulo interno de un polígono regular de $n$ lados es:

$$\alpha = \frac{180\left ( n - 2 \right )}{n}$$

Para un triángulo equilátero ($n=3$):
$$\alpha = \frac{180\left ( 3 - 2 \right )}{3}=60$$
Para un cuadrado ($n=4$):
$$\alpha = \frac{180\left ( 4 - 2 \right )}{4}=90$$
Para un pentágono ($n=5$):
$$\alpha = \frac{180\left ( 5 - 2 \right )}{5}=108$$ 
Para un hexágono ($n=6$):
$$\alpha = \frac{180\left ( 6 - 2 \right )}{6}=120$$

Con ayuda de estos resultados y el hecho de que si damos un giro completo, tenemos un ángulo de $360^{o}$ (o $2 \pi$ radianes):



Analizaremos con mayor detalle el caso del pentágono. Sabemos que su ángulo interno mide $108^{o}$.  Este número cabe tres veces en $360$ y deja un residuo de 36:




De aquí podemos deducir que para que un polígono regular tesele, es necesario que la medida de su ángulo interno no deje residuo al dividir 360, es decir, que sea un divisor de esa cantidad,
En los cálculos realizados se observan tres divisores de 360: 60, 90 y 120 (correspondientes al triángulo equilatero, cuadrado y hexágono, respectivamente). Por lo tanto sólo  ellos pueden cubrir totalmente el plano con las condiciones mencionadas,  esto lo podemos ver en las siguientes figuras:

Triángulo

Figura 1

Cuadrado

Figura 2

Hexágono

Figura 3

No existen polígonos regulares de más de seis lados que puedan cubrir totalmente el plano sin solaparse, esto se puede demostrar y aquí lo haremos con  argumentos sencillos:

Como puede verse en los cálculos anteriores, a medida que se incrementa el número de lados, crece la magnitud del ángulo interno. Por lo tanto, dado que el hexágono tiene un ángulo interno de $120^{o}$,  los de siete o más lados, superarán esta medida. Esto significa, que de existir un polígono diferente debe cumplir con dos condiciones: que su ángulo interno sea mayor que $120$ y divisor de $360$, los únicos números que cumplen con esto son 180 y 360 y es evidente (¿verdad?) que no puede haber poligonos regulares con ángulos internos de estas medida..  Por lo tanto los único que sirven a nuestro propósito son los que habiamos mencionado y que se muestran en las figuras anteriores.

Todo lo que se ha dicho y demostrado hasta aquí, se puede justificar de manera dirtecta con un esfuerzo ligeramente mayor y lo vamos a hacer para los que disfrutan el exquisito sabor de las ecuaciones (si no tienes el temple, puedes irte directamente hasta el Teorema del panal un poco más abajo). Sabemos que el ángulo interno de un polígono regular se calcula con (ahora en radianes):

$$\alpha =\frac{\left ( n-2 \right )\pi }{n}$$

Si el teselado es regular, debe haber en cada vértice la misma cantidad de polígonos de n lados, si llamamos m a esta cantidad, se debe cumplir:

$$m\frac{\left ( n-2 \right )\pi }{n}=2\pi $$

Lo que esta última ecuación dice es que la suma de los ángulos alrededor de cada vértice es igual a $ 2\pi $ radianes. Regularmente la ecuación se presenta de la siguiente manera (despues de manipularla algebraicamente):

$$2m-mn+2n=0$$

Esta ecuación (y cualquiera que busque valores enteros para sus incógnitas) se llama diofántica y aunque el teorema de Matiyasevich nos dice que no existe un método general para resolverlas, podemos encontrar las soluciones de esta relativamente fácil. Lo primero que haremos es transformar la ecuación anterior hasta dejarla de la siguiente forma:


$$\frac{1}{2}=\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$$

Asi el problema se reduce a expresar la fracción un medio  como suma de dos fracciones unitarias. La solución trivial es:

$$\frac{1}{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$$

Es decir, $m=4$ y $n=4$. Cuatro cuadrados (recordar que $m$ es el número de polígonos y $n$ el número de lados) como en la figura 2.

Otras soluciones se pueden obtener de la expresión que permite separar cualquier fracción unitaria en la suma de otras dos.

$$\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n\left ( n+1 \right )}$$

De aquí se deduce:

$$\frac{1}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$$

Esto nos dice:

$m=3$ y $n=6$. Tres hexágonos como en la figura 3. O también:
$m=6$ y $n=3$. Seis triángulos como en la figura 1.

Ahora si, podemos pasar a lo siguiente.

Teorema del Panal

Existe un resultado llamado teorema del panal que afirma que el teselado hexagonal presenta la mejor manera de cubrir una superficie con figuras de igual área utilizando el menor perimetro. Esto explica por qué los fabricantes de redes (en porterías, por ejemplo)  y mallas de alambre utilizan hexágonos: les permite ahorrar material.



La demostración de este teorema se debe a Thomas C. Hales y es muy complicada, sin embargo podemos demostrar que, de los polígonos regulares que teselan el plano, el hexágono regular  es el que minimiza el perimetro cuando mantenemos el área constante.

Primero nos centraremos en el ángulo central de un polígono regular de $n$ lados:





En radianes:
$$\theta = \frac{2\pi }{n}$$
El apotema se relaciona con la mitad de este ángulo y la mitad del lado mediante la tangente:




$$\tan \alpha =\frac{\frac{L}{2}}{a}=\frac{L}{2a}$$
Pero:
$$\alpha =\frac{\theta }{2}=\frac{\frac{2\pi }{n}}{2}=\frac{2\pi }{2n}=\frac{\pi }{n}$$
Entonces:
$$\tan \frac{\pi }{n} =\frac{L}{2a}$$
De aquí podemos despejar $L$:
$$L=2a\tan \frac{\pi }{n}$$
El perimetro ($P$) de un polígono regular es: 
$$P=nL$$
Sustituyendo  la ecuación para $L$ tenemos:
$$P=n\left(2a\tan \frac{\pi }{n}\right)= 2na\tan \frac{\pi }{n}$$
Tambien sabemos que en función del apotema y del perimetro, el área es:
$$A=\frac{Pa}{2}$$ 
Mediante un despeje sencillo:
$$a=\frac{2A}{P}$$
Sustituyendo en la última expresión para el perémetro obtenemos:
$$P=2n\left ( \frac{2A}{P} \right )\tan \frac{\pi }{n}=\frac{4An}{P}\tan \frac{\pi }{n}$$
Reacomodano y despejando el perimétro nos queda:
$$P=\sqrt{4An\tan \frac{\pi }{n}}$$

El perimetro en función del número de lados si el área es constante. Sin pérdida de generalidad tomamos $A=1$:
$$P\left ( n \right )=\sqrt{4n\tan \frac{\pi }{n}}$$

Si evaluamos para valores $n=3$, $n=4$ y $n=6$  obtenemos:
$$P\left (3 \right ) = 4.55$$
$$P\left (4 \right ) = 4$$
$$P\left (6 \right ) = 3.72$$

De los polìgonos regulares que teselan el plano, el  hexagono ($n=6$) presenta menor perimetro para cierta área dada

Sin embargo el teorema del panal va más allá, afirma que el hexagono representa la forma óptima para minimizar el perimetro,  respecto a cualquier forma que pueda teselar. Y esto de alguna manera lo saben las abejas desde hace mucho tiempo, por eso los panales tienen forma hexagonal: les permite utilizar una menor cantidad de cera.

Los polígonos regulares se pueden utilizar para crear teselados con formas caprichosas, basta aplicarles una de las siguientes transformaciones:

I Trasladar un lado o parte de él, hacia el lado opuesto

Esto se puede hacer con cuadrados y hexágonos (tambien con rectángulos) de la siguiente manera:

Comenzamos con un hexágono.


Hacemos un trazo con la forma que se nos antoje sobre un lado (en este caso fue en lado completo, pero puede ser en una parte de él).


 Cortamos y trasladamos hacia el lado opuesto:



Pegamos:


Aunque la forma obtenida permite teselar, vamos a seguir transformándola. Hacemos lo mismo con otro lado:



Volvemos a cortar y a trasladar:


Pegamos:


Aún podemos hacer lo mismo con el tercer par de lados y obtener otra forma, pero vamos a dejarla así, con esta pieza podemos realizar el siguiente teselado, mediante simples traslaciones:





II Rotación de $180^{o}$ de parte de un lado alrededor de su punto central

Nuevamente  partimos de un hexágono:




Hacemos un trazo en uno de los lados:



Cortamos y rotamos $180^{o}$ tomando como centro el punto medio del lado (señalado con rojo):






Por último pegamos;




Hacemos lo mismo con el siguiente lado:



Y con el otro:



 Nuevamente:



Con esta última figura y con algunas rotaciones de $180^{o}$ podemos obtener:



Podemos combinar las dos transformaciones previas. Para ejemplificar vamos a tomar la figura del teselado anterior anteriores y le haremos un corte en un lado para trasladarlo al de enfrente para obtener:


 Dependiendo de la imaginación y creatividad del realizador, la figura resultante puede decorarse para convertirse en el objeto (animal, persona o cosa) que su capacidad artística permita. En mi caso voy a dejarla así:






III Giro a partir de un vértice


Llamamos a nuestro viejo amigo hexágono para comenzar:



 Realizamos un trazo sobre uno de sus lados



 Cortamos y rotamos $120^{o}$ respecto al vértice (punto rojo):





Pegamos:



Hacemos lo mismo con otro lado, respetando la siguiente regla: los vertices que son centro de giro no deben pertenecer al mismo lado.




Ahora con el otro:




Y con rotaciones ($120^{o}$) y traslaciones  tenemos el siguiente teselado:


Podemos transformar la pieza anterior trazando otra forma caprichosa en la parte del lado donde terminó la rotación para después cortarla y rotarla $120^{o}$ respecto al mismo punto (el vértice) sólo que ahora en contra de las manecillas del reloj.

Trazamos:








Se pega:




Repetimos con los otros dos lados
 







Y mediante traslaciones y rotaciones de $120^{o}$ obtenemos:


Con un pequeño esfuerzo de imaginación, esta última pieza puede transformarse:


Y crear algo como esto (seguramente nuestros alumnos serán más creativos):



Vamos a dejar esta entrada hasta aquí, proximamente analizaremos los teselados que faltan.