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miércoles, 10 de enero de 2018

Área del trapecio.

Uno de los errores más comunes en la enseñanza de las matemáticas, es proporcionar a los estudiantes contenidos ya digeridos, evitando el proceso que permite asimilar de manera más aficaz los conceptos. 
La abismal diferencia entre las matemáticas reales y la pálida y cutre asignatura que se imparte en las escuelas se vuelve más evidente al contemplar  el manejo que se le da a la geometría. Cabe recordar que esta fue una de las primeras construcciones lógicas, el primer edificio solidamente cimentado en una estructura axiomática y donde cada afirmación descanza en una serie de argumentos y procedimientos que demuestran su veracidad.
A pesar de esto, lo que llega a las aulas es un conjunto de fórmulas que nadie sabe de dónde vienen pero que hay que memorizar y aplicar.
Ya tendremos tiempo de profundizar en esto, ahora vamos a presentar diversas maneras de obtener la fórmula del área de un trapecio.
Para ponernos al día, un trapecio es un cuadrilatero convexo que tiene paralelos un par de lados opuestos. Como este:

 El área de este cuadrilatero se calcula con la mundialmente conocida fórmula:
$$A = \frac{\left ( B+b \right )h}{2}$$
Las variables implicadas se muestran a continuación:

Hasta aqui todo transcurre normal, se memoriza y se aplica, pero ¿de dónde viene esta fórmula? ¿cómo sabemos que funciona?
Existen muchas maneras de corroborarla, la más sencilla consiste en un trazo auxiliar (recuerdan la entrada de Cómo enseñar Matemáticas sin morir en el intento I, un trazo auxiliar puede ser la solución a muchos de nuestros problemas), a manera de diagonal  para formar dos triángulos:

Se puede observar que el área del trapecio es igual a la suma de las áreas de los dos triángulos (ambos con la misma altura y de bases respectivas, B y b), y partiendo de que el área de un triángulo es igual al producto de la base por la altura dividido entre dos, tenemos que $A$  (el área del trapecio) es:
$$A = \frac{ B h}{2}+\frac{ b h}{2}$$
¡Y ya está! Simplemente factorizamos por factor común:
$$A= \frac{\left ( B+b \right )h}{2}$$
Otra manera de obtenerla es tomar dos trapecios  congruentes, aplicarle a uno de ellos una rotación de 180 grados y unirlos para formar un paralelogramo.


Como sabemos, el área de un paralelogramos es igual a al producto de la base por la altura, que en este caso son, $B+b$ y $h$ respectivamente. Pero ahora lo que conseguimos es el doble del área del trapecio, es decir $2A$, entonces:
$$2A = \left ( B+b \right )h$$
De donde evidentemente resulta la fórmula buscada:
$$A = \frac{\left ( B+b \right )h}{2}$$

Una forma distinta es la siguiente: se trazan dos alturas desde los extremos de la base menor, formando tres figuras conocidas (dos triángulos y un rectángulo).


 La suma de sus áreas nos da el área del trapecio. Como las bases de los triángulos son $b_{1}$ y $b_{2}$, la del rectángulo es $b$ y todas las alturas son $h$, tenemos:
$$A=\frac{b_{1}h}{2}+\frac{b_{2}h}{2}+bh$$
Que con un poco de trabajo algebraico podemos convertir en:
$$A=\frac{b_{1}h}{2}+\frac{b_{2}h}{2}+\frac{2bh}{2}=\frac{\left ( b_{1} +b_{2}+2b\right )h}{2}=\frac{\left ( b_{1} +b_{2}+b+b\right )h}{2}$$
Pero de la figura observamos que:
$$b_{1}+b_{2}+b=B$$
Y sustituyendo en la expresión anterior, nuevamente encontramos:
$$A = \frac{\left ( B+b \right )h}{2}$$

Por último, presentamos una de las formas más intuitivas pero talvez la menos conocida, consiste en tomar un triángulo:

Hacer un corte paralelo a la base:

 Y calcular el área del trapecio restando al área del triángulo grande, la del pequeño:

Es decir:
$$A=\frac{BH}{2}-\frac{bh^{'}}{2}$$
Pero, $H=h+h^{'}$, por lo cual:
$$A=\frac{B\left ( h+h^{'} \right )}{2}-\frac{bh^{,}}{2}=\frac{Bh}{2}+\frac{Bh^{'}}{2}-\frac{bh^{,}}{2}=\frac{Bh}{2}+\frac{\left ( B-b \right )h^{'}}{2}$$
De manera simplificada decimos que el área del trapecio es:
$$A=\frac{Bh}{2}+\frac{\left ( B-b \right )h^{'}}{2}$$
Por otra parte, debido a que el corte fue paralelo a la base, los triángulos (el grande inicial y el pequeño del corte) son semejantes, entonces:
$$\frac{B}{H}=\frac{b}{h^{'}}$$
Que también se puede escribir:
$$\frac{B}{h+h^{'}}=\frac{b}{h^{'}} $$
De donde obtenemos:
$$B=\frac{b\left ( h+h^{'} \right )}{h^{'}}=\frac{bh}{h^{'}}+b$$
Y por último:
$$B-b=\frac{bh}{h^{'}}$$
Sustituyendo esto en la última expresión del área nos da:
$$A=\frac{Bh}{2}+\frac{bhh^{'}}{2h^{'}}=\frac{Bh}{2}+\frac{bh}{2}=\frac{\left ( B+b \right )h}{2}$$
Y volvemos a encontrar la fórmula conocida.
$$A = \frac{\left ( B+b \right )h}{2}$$
Debe de haber más formas, pero con estas tenemos para exponer nuestro punto, la parte interesante de las mates está en comprobar los resultados o buscar deducirlos nosotros mismos. ¿Crees que puedas encontrar una forma diferente de verificar la fórmula?

viernes, 22 de diciembre de 2017

Hasta el cálculo y más allá (segunda parte).

En la entrada anterior vimos que el cálculo tal como lo conocemos guarda muchas sorpresas y que si nos interesas profundizar en su estudio, hay mucha tela de donde cortar.
Ahora vamos a presentar otro tipo de cálculo, donde las cosas funcionan de una manera peculiar. Comenzaremos con unas relaciones  bastantes conocidas:
$$\int e^{x}dx= e^{x}+c$$
$$\frac{\mathrm{d} e^{x}}{\mathrm{d} x}= e^{x}$$
La integral indefinida y la derivada de la función exponencial son iguales, salvo una constante.
Imaginemos un tipo de cálculo donde para cualquier función ocurriera siempre lo mismo, es decir:
$$\int f\left ( x \right ) \mathrm{d} x = \frac{\mathrm{d} f\left ( x \right )}{\mathrm{d} x}$$

De entrada podemos decir que se trata de un tipo de cálculo aburridísimo, pero aún así, vamos a ver si podemos construirlo.

Sabemos que si elevamos un número real (diferente de cero) al cuadrado, obtenemos una cantidad mayor que cero. Si elevamos un número imaginario al cuadrado el resultado es un una cantidad negativa. Si nos atenemos a las opciones dadas por la propiedad de tricotomía, hace falta un sistema numérico donde el cuadrado de cualquier número sea siempre cero.

Vamos a imaginar que lo tenemos y esta formado por los siguientes bichitos $$\left \{ \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3},... \right \}$$
Con la propiedad de que: $$\left ( \varepsilon _{1}  \right )^{2}=0$$
$$\left ( \varepsilon _{2}  \right )^{2}=0$$
y en general:
$$\left ( \varepsilon _{i}  \right )^{2}=0$$
¿Cuales serían las consecuencias? Muchas y para describir una, utilizaremos el desarrollo de una función en  serie de Taylor, que en el punto $a$ es: $$f\left ( x \right )=f(a)+\frac{f'\left ( a \right )\left ( x- a\right )}{1!}+\frac{f''\left ( a \right )\left ( x- a\right )^{2}}{2!}+\cdots +\frac{f^{n}\left ( a \right )\left ( x- a\right )^{n}}{n!}+R_{n}$$
Donde $R_{n}$ son todos los términos que faltan.
Si partimos de una función que  toma estos bichitos  y los transforma en números reales o complejos y realizamos el desarrollo en $a=0$ obtenemos:
$$f\left ( \varepsilon \right )=a_{0}+a_{1}\varepsilon$$
Donde $ a_{0}$ y $a_{1}$ son $f\left (0 \right )$ y $f'\left (0 \right )$ respectivamente y todas las potencias con exponente mayor o igual a dos se éliminan debido a la rara característica de este sistéma numérico (de desaperecer cuando se elevan al cuadrado).
Pues resulta que estos bichos existen y reciben el nombre de números o variables de Grassmann y fueron parte del repertorio con el que este matemático sentó las bases del algebra líneal.
La característica principal de estas variables es su anticonmutatividad, que se representa de la siguiente manera:
$$ \varepsilon _{i}\varepsilon _{j}= -\varepsilon _{j}\varepsilon _{i}$$
O de otra forma:
 $$ \varepsilon _{i}\varepsilon _{j}+\varepsilon _{j}\varepsilon _{i}=0$$
De donde naturalmente se sigue (tomando $i=j$): 
$$ \varepsilon _{i}^{2}+\varepsilon _{i}^{2}= 2\varepsilon _{i}^{2}=0$$
Por lo tanto:
$$\varepsilon _{i}^{2}=0$$
Vamos a tomar la derivada de una función respecto a estas variables (utilizando el desarrollo en serie de Taylor): 
$$ \frac{\mathrm{d} f\left ( \varepsilon \right )}{\mathrm{d} \varepsilon}= \frac{\mathrm{d} \left ( a_{0}+a_{1}\varepsilon \right )}{\mathrm{d} \varepsilon}= a_{1} \quad \quad-----\left (1\right )$$
Para integrar utilizaremos las reglas de Berezin que permiten integrar estas variables:
$$\int \mathrm{d} \varepsilon =0$$
$$ \int \mathrm{d} \varepsilon \varepsilon=1$$
Entonces, basta aplicarlas para obtener:
$$\int f\left ( \varepsilon \right ) \mathrm{d} \varepsilon = \int \left ( a_{0}+a_{1}\varepsilon \right ) \mathrm{d} \varepsilon= a_{0} \int \mathrm{d} \varepsilon + a_{1} \int \mathrm{d} \varepsilon \varepsilon = a_{1} \quad \quad-----\left (2\right )$$
Como se puede observar de $\left (1\right )$ y $\left (2\right )$: 
$$\int f\left ( \varepsilon \right ) \mathrm{d} \varepsilon = \frac{\mathrm{d} f\left (\varepsilon \right )}{\mathrm{d} \varepsilon}$$
Más allá de lo entretenido y exótico de esto, resulta que las variables de Grassmann permiten modelar el comportamiento de ciertas partículas elementales de spin semientero, llamadas fermiones. Pues la función de onda, que nos da información sobre la probabilidad de que esta partícula o un conjunto de ellas tengan ciertas características, debe ser cero, si  dos o más fermiones tienen el mismo estado.Y las reglas de cálculo que hemos visto son de gran utilidad para trabajar de forma adecuada con las matemáticas (integrales de camino de Feynman) asociadas a esto y que aquí poco a poco iremos deshebrando.






lunes, 11 de diciembre de 2017

Hasta el cálculo y más allá (Primera parte)

Existe la creencia de que el cálculo  representan el punto álgido de lás matemáticas. Así como intuimos (algunos) que no hay vida después de la muerte; piensan (algunos) que no hay matemáticas después del cálculo. Obviamente esto demuestra un desconocimiento profundo de la historia, escencia y alcance de esta área del intelecto.
Claro que hay mates después de las derivadas e integrales, sin embargo en esta entrada no hablaremos de ellas,  nos enfocaremos a algunas cuestiones poco conocidas del cálculo convencional y ha esbozar la existencia de otro tipo de cálculo. No vamos a utilizar definiciones rigurosas via épsilones y sumatorias, ni haremos uso del teorema fundamental.
La primera parte de este trabajo  se me ocurrió mientra explicaba a mis alumnos que algunas funciones admiten primera, segunda, tercera y en general, derivadas de orden superior, es decir, que se pueden derivar una vez, dos veces, tres veces y etc. "¿y si la derivo media vez?" me  preguntó  el chistosito del grupo. Me pareció interesante que un joven sin ningún interés por las mates se hiciera la misma pregunta (aunque no con la misma intención) que L´Hopital se planteará en 1965 y  respondida por Leibniz de una manera tan genial, que hasta ahora nadie ha dudado en citar: "esto (la existencia de la media derivada) conduciría aparentemente a una paradoja de la cual algún día serán extraídas consecuencias muy útiles".
Euler (1730) y Laplace (1812) metieron su cuchara en esta sopa, pero el primer trabajo serio sobre el tema fue el de Lacroix (1819), que a partir de la función $$f\left ( x \right )=x^{n}$$ y la expresión de la $m$-ésima derivada:
$$\frac{d^{m}f}{dx^{m}}=\frac{n!}{\left ( n-m \right )!}x^{n-m}$$ intentó introducir valores no enteros de $m$, pero como se puede observar, esto nos lleva a operar con factoriales no comunes.
Para ejemplificar esto intentaremos obtener  la media derivada de:  $$f\left ( x \right )=x$$
Para esto tomamos $n=1$ y $m=\frac{1}{2}$ en la fórmula anterior.
$$\frac{d^{\frac{1}{2}}f}{dx^{\frac{1}{2}}}=\frac{1!}{\left ( 1-\frac{1}{2} \right )!}x^{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\left ( \frac{1}{2} \right )!}x^{\frac{1}{2}}$$

La existencia de esta media derivada queda supeditada a la existencia del factorial de un medio.   Afortunadamente para Lacroix,  ya Euler (1729) había desarrollado la generalización de la función factorial que Legendre (1814) denominó función gamma, con las siguiente propiedad:
$$\Gamma \left ( x+1 \right )=x \Gamma \left ( x \right )$$
Que nos lleva directamente a:
$$ \Gamma \left ( x+1 \right )=x!$$
Y dado que esta función está definida para cualquier valor real positivo, vemos que si $x=\frac{1}{2}$  esta última expresión nos da:
$$\left ( \dfrac{1}{2} \right )!= \Gamma \left ( \frac{1}{2}+1 \right )= \Gamma \left ( \frac{3}{2} \right )$$
El factorial de un medio requiere a la función gamma de tres medios, Por lo tanto, tomando en cuenta que: $$\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right )= \sqrt{\pi }$$
Y con la propiedad entes mencionada:
$$\Gamma \left ( \frac{3}{2} \right )= \Gamma \left ( 1+\frac{1}{2} \right )= \frac{1}{2}\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right )=\frac{1}{2}\sqrt{\pi }=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$$
Hemos encontrado el factorial de un medio:
$$\left ( \dfrac{1}{2} \right )!=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$$
Con esto obtenemos que la media derivada de $f\left ( x \right )=x$ es :
$$\frac{d^{\frac{1}{2}}f}{dx^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\left ( \frac{\sqrt{\pi }}{2} \right )}x^{\frac{1}{2}}=\frac{2}{\left ( \sqrt{\pi } \right )}x^{\frac{1}{2}}=2\sqrt{\frac{x}{\pi}}$$
Es obvio que para que esto tenga sentido, si a esta última expresión le aplicamos otra media derivada el resultado sería uno (la derivada completa de  $f\left ( x \right )=x$).¿Puede el lector intentar corroborar esto?.
En general la fórmula de la derivada $m$-ésima es:
$$\frac{d^{m}f}{dx^{m}}=\frac{\Gamma \left ( n+1 \right )}{\Gamma \left ( n-m+1 \right )}x^{n-m}$$
Donde $m$ puede ser cualquier número real mayor que cero.
Esto era apenas el principio, la fórmula anterior sólo es aplicable a "x a la n" y era únicamente un formalismo sin ninguna aplicación. Fue Abel (1823) el primero en utilizar el cálculo fraccional (como se llamó a este incipiente cálculo) al resolver  una integral que surgió en la formulación del problema de la tautócrona. Posteriormente Lioville (1832), atraido por el trabajo de Abel, dio la primer definición de derivada de orden arbitrario para cualquier función. Pero fue Laurent el primero en dar una definición formal del agrado de los matemáticos modernos. El orden arbitrario no es exclusivo del cálculo diferencial, tambien se puede integrar una función las veces (o una fracción de las veces) que queramos.
En la actualidad el Cálculo Fraccionario tiene muchas aplicaciones, como bien lo dijo Leibniz, por ejemplo Leidy Yoana Medina y Francisco Cabrera (Departamento de Matemáticas, Grupo de Investigación Pangea, Universidad de Pamplona), lo aplican en la investigación de la pérdida de energía en la propagación de las ondas sísmicas.
No soy adepto de las aplicaciones pero talvez alguno de mis contados lectores si. En particular considero que, por si sola, la poética idea de una $\pi$-ésima derivada hace que todo esto valga la pena.

Esta entrada participa en la edición 8.6 del Carnaval Matemático, cuyo anfitrión es, en esta ocasión, Matemático Soriano.

miércoles, 29 de noviembre de 2017

Criterios de divisibilidad

La mayoría de los estudiante sienten una aversión natural hacia los números, y digo natural porque no resulta nada atractivo pasar gran parte de nuestra infancia aprendiendo a lidiar con ellos en procedimientos que los maestros  aseguran que serán de utilidad, pero que de momento no tienen sentido.
Y aunque los números esconden curiosidades sorprendentes y propiedades que nos permiten sacarle la vuelta a los algoritmos tediosos, ese rostro amable permanece vedado para miles de niños y jóvenes que crecerán odiando a las mates, asociándolas con la obligación de memorizar  cosas que proporcionan buenas calificaciones.
Aunque no sea evidente, las propiedades de los números son más importantes que las operaciones que podamos hacer con ellos. En entradas anteriores hemos hablado sobre los divisores, hemos aprendido a contarlos y a encontrarlos. El único recurso que tenemos para garantizar que cierta cantidad divide a otra es mediante el procedimiento habitual, se divide y checamos si hay residuo. Si es necesario el uso de decimales para la división nos encontramos ante un NO divisor. 
Afortunadamente, en la educación secundaria (por lo menos en México)  aparecen como parte del programa, los criterios de divisibilidad (entre 2, 3 y 5), estos son de gran utilidad para factorizar un número, simplificar una fracción, encontrar el Máximo Común Divisor, el Mínimo Común Múltiplo de una conjunto de enteros o al resolver algunos problemas de olimpiadas.
Un criterio de divisibilidad es una condición que debe cumplir cierto número para que otro lo divida en partes enteras, proporcionando un mecanismo para encontrar divisores sin realizar la división.
Comenzamos enumerando los casos más sencillos:

Un número es divisible: 
  • Entre dos, si la cifra de las unidades es  par (recordar que el cero es par). De acuerdo con esto, $76458$ es divisible entre $2$ y $46805$ no.
  • Entre tres, si al sumar sus dígitos obtenemos un múltiplo de tres.  Para saber si $8273544$ es divisible entre tres, sumamos sus dígitos $8+2+7+3+5+4+4=33$, como $33$ es múltiplo de $3$ entonces si es. Por otro lado, $8752$ no es divisible entre $3$ ya que $8+7+5+2=22$, y $22$ no es múltiplo de $3$
  • Entre cuatro, si el número formado por las dos últimas cifras (comenzando de izquierda a derecha) es múltiplo de cuatro.Tenemos que enfocarnos en las decenas y unidades. El número $998716$ es divisible entre cuatro porque las últimas dos cifras $16$, forman un múltiplo de cuatro.
  • Entre cinco, si la cifra de las unidades es cero o cinco. Por lo tanto, $213870$ y $983785$ son divisibles entre cinco, pero $6765554$ no.
  • Entre nueve, si la suma de sus dígitos es múltiplo de nueve. Probamos con $873464$, vemos que $8+7+3+4+6+4=32$ y como $32$ no es múltiplo de $9$ el número inicial no es divisible entre nueve. Por otro lado $67482$ si es, ya que $6+7+4+8+2=27$ y $27$ es múltiplo de $9$.
  • Entre once si al sumar los dígitos en posicion par, luego los de posición impar y al restar los resultados obtenemos un múltiplo de once. Si  queremos saber si $1763592$ es divisible entre once, sumamos los dígitos en posición impar (de izquierda a derecha, la primera, tercera, quinta, etc.) $1+6+5+2=14$ y las de posición par (segunda, cuarta, etc.) $7+3+9=19$, luego restamos $19-14=5$. Como no obtuvimos un múltiplo de once, el número no es divisible entre once. Pero $37147$ si es, ya que: $3+1+7=11$ y $7+4=11$ y $11-11=0$ (múltiplo de once),

Como el Teorema fundamental de la Aritmética afirma (entre otras cosas) que todo número mayor que uno es primo o producto de primos,  se expondrá a partir de aquí, unicamente criterios de números primos.

Los demás se pueden deducir a partir de un teorema que garantiza que si  los factores de $b$ dividen al entero $n$, entonces $n$ es divisible entre $b$. Si queremos demostrar que un número es divisible entre $6$, basta demostrar que es divisible entre $2$ y $3$, ya que estos son factores de $6$.

Como los criterios son bastantes similares,  en lugar de enumerarlos todos (cosa que sería imposible) vamos deducir la regla general, nomás por el puro placer de hacerlo.

Partimos de un número $N$ y queremos saber si es divisible entre un primo $P$, para esto separamos la cifra de las unidades. Si la cantidad tiene $a$ unidades y $b$ es el número que queda al suprimirlas, tenemos: $$N=10b+a  ----------(1)$$

Como ejemplo vemos que si $N=65239$, entonces, $b=6523$ y $a=9$ y se cumple que $N=10b+a$.
Ahora buscamos un multiplo de $P$ que se acerque (por arriba o por abajo) a un múltiplo de $10$. Si el $k$-ésimo múltiplo de $P$ se acerca al $m$-ésimo múltiplo de $10$. Multiplicamos la ecuación $(1)$ por $m$ y restamos  $kPb$ a ambos miembros, obteniendo esto: 
$$mN-kPb=10b-kPb+ma  --------(2)$$

Esta última ecuación será de utilidad para encontrar el criterio buscado (en ocasiones es necesario multiplicarla por menos uno).

Vamos a aplicar el procedimiento para $P=7$. El tercer ($k=3$) múltiplo de $7$ es $21$ y está próximo al segundo ($m=2$) múltiplo de $10$ que es $20$. Multiplicamos la ecuación $(1)$ por $m=2$, nos queda:
$$2N=20b+2a  --------(3)$$
Restamos $kPb=21b$ a ambos lados:
$$2N-21b=20b+2a-21b=-b+2a  --------(4)$$
Multiplicando esta última por menos uno tenemos:
$$21b-2N=b-2a  ---------(5)$$
De aquí observamos que si $b-2a$ (el número que queda al suprimir las unidades menos el doble de estas) es múltiplo de $7$ entonces $N$ tambien lo es, de otra forma no obtendríamos el factor $7$ necesario. Si  no estamos seguros de que la cifra obtenida sea multiplo de siete, el proceso se repite hasta encontrar una cantidad que sepamos con certeza, si es o no múltiplo de siete. Si queremos demostrar que $182$ es divisible entre siete, vemos que $b=18$ y $a=2$. Como: $$b-2a=18-4=14$$ es múltiplo de siete, entonces $182$ es divisible entre siete.

Por último vamos a determinar el criterio de divisibilidad entre 23. El tercer ($k=3$) múltiplo de $23$, $69$ se acerca al séptimo ($m=7$) múltiplo de $10$ que es $70$, por lo tanto multiplicamos la ecuacion $(1)$ por $m=7$.
$$7N=70b+7a  --------(6)$$
Restamos a ambos lados $kPb=69b$:
$$7N-69b=70b+7a-69b=b+7a  --------(4)$$
Por lo tanto $N$ es divisible emtre 23 si la suma del número que queda al suprimir las unidades y siete veces estas, lo es. Este proceso también es recursivo hasta encontrar un número que evidentemente sea múltiplo de 23 (o que no lo sea).

Algunos dirán que esto no sirve para nada, pero díganselo a quien construyó el siguiente grafo que sirve para verificar si un número es divisible entrte siete y además nos da el residuo de dividir entre esa cantidad. Me lo encontré en Gaussianos pero  fue extraido de El blog de Tanya Khovanova .
Funciona de la siguiente manera: se parte del cero avanzando tantas  flechas negras como lo indique la primera cifra (de izquierda a derecha) y seguimos  la flecha blanca del círculo azul al que hemos llegado. Observamos la segunda cifra y repetimos, continuamos de esa manera hasta agotar los dígitos, el número al que nos lleve la cifra de las unidades será el residuo de dividir entre siete (en esta última ignoramos la flecha blanca). 
 
Si queremos saber si $4765$ es divisible entre siete, nos ubicamos en el cero y avanzamos cuatro (primera cifra de la izquierda) flechas negras, llegamos al cuatro, seguimos la flecha blanca que nos lleva hasta el cinco; de ahí seguimos siete (segunda cifra) flechas negras y volvemos al cinco, la flecha blanca nos manda al uno, de ahí caminamos seis (tercera cifra) flechas negras hasta el cero y por indicación de la flecha blanca nos quedamos ahí; por último nos movemos cinco (cifra de las unidades y última) flechas negras y paramos en el cinco, esta cantidad es el residuo de dividir 4765 entre 7, por lo tanto no es divisible. Para  ser divisible el residuo debe ser cero, por lo tanto la condición para ser divisible entre entre es llegar al lugar de donde salimos (el cero).
 
Esto puede no tener aplicaciones en la vida cotidiana, pero es una genialiadad que merece ser compartida.   
                                               







lunes, 13 de noviembre de 2017

Divisores de un número y el principio fundamental del conteo



En la entrada ¿cuántos divisores tiene un número? vimos que para responder esa pregunta debemos descomponer el número en factores primos, poner énfasis en los exponentes que aparecen, sumar la unidad a cada uno y multiplicar esos resultados. 

Si queremos saber cuántos divisores tiene el 1800, lo factorizamos $2^{3}3^{2}5^{2}$, nos enfocamos en los exponentes, $3$, $2$ y $2$, les sumamos  uno, $3+1$, $2+1$ y $2+1$. Por último multiplicamos los resultados:
$$\left ( 4 \right )\left ( 3 \right )\left ( 3 \right )=36$$ 

Hay 36 divisores. El procedimiento es sencillo, pero  ¿por qué sumar uno? Para responder esto vemos que cada uno de los primos que aparecen en la factorización es un divisor de 1800, pero también todos los productos de potencias de estos con la condición de que el exponente sea mayor o igual a cero y menor o igual al que aparece en la descomposición.

En el caso del 1800, los divisores se encuentran poniendo exponentes en el siguiente esquema:


En la descompocisión el 2 aparece con exponente 3, por lo tanto las opciones para llenar el cuadro blanco son: $0$, $1$, $2$ y $3$. Y en general si el exponente es $n$ los números $\alpha$ que podemos poner en cuadro blanco deben cumplir con $\alpha\geq 0$  y  $\alpha\leq n$ que en total son $n+1$.

Cuando respondemos a la pregunta de cuántos divisores hay, estamos utilizando el principio fundamental del contéo, este dice que si una actividad se puede realizar de $n$ formas y por cada una de ellas otra actividad se realiza se $m$ maneras, en total, ambas actividades se realizan de $n$ por $m$ formas.

En nuestro ejemplo, la actividad de encontrar los divisores del 1800 consiste en llenar los tres cuadros blancos. Partiendo de la descomposición $2^{3}3^{2}5^{2}$

  • Como el exponente del $2$ es $3$, tenemos $4$ maneras de llenarlo.
  • El exponente del $3$ es $2$, esta actividad la podemos hacer de $3$ maneras.
  • Para el $5$ el exponente es $2$ y tenemos $3$ formas. 

Por lo tanto, hay que multiplicar $\left ( 4 \right )\left ( 3 \right )\left ( 3 \right )=36$ y obtenemos el resultado conocido.

El principio fundamental del conteo responde a la pregunta ¿cuántos? pero no a ¿cuáles?, estas última puede aclararse con el diagrama de árbol. Para explicarlo vamos a partir del mismo ejemplo con el que comenzamos.

Tenemos tres números primos en la factorización, el diagrama de arbol reserva una columna pra cada uno. En ellas aparecen las potencias permitidas. Para el dos tenemos:
Para cada una de estas opciones tenemos un tres con exponentes de cero a dos:
Por último está la columna para las potencias del cinco:
Y esto es todo, lo que resta es seguir cada una de las ramas del árbol comenzando en una potencia de dos y finalizando en una de cinco, el productos de estas, nos dan todos los divisores, como ejemplo tomaremos las ramas que comienza con $2^{0}$.




Finalizamos con un ejemplo más, ¿cuales son los divisores de $60$? Descomponemos, $2^{2}*3*5$, los exponentes indican que hay tres posibilidades para las potencias de dos, y dos para las de tres y cinco, por el principio fundamental de contéo tenemos $(3)(2)(2)=12$ divisores. Por lo tanto:
Como puede observarse, los divisores de $60$ son: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30$ y $60$.

viernes, 3 de noviembre de 2017

Cómo enseñar Matemáticas sin morir en el intento I




Si lees esto buscando técnicas para que tus alumnos puedan asimilar los aprendizajes esperados, no creo que encuentres lo que estás buscando. Este trabajo trasciende ese propósito; la matemática de la que trata no es el conjunto de conocimientos ya hechos que hay que aprender para obtener la nota escolarmente apropiada. Se refiere a ese edificio teórico en constante crecimiento, que no respeta al sentido común, que se reinventa en cada concepto y que se especializa en resolver problemas aunque no aporten nada al bagaje de conocimientos inmediatamente útiles.

En otras palabras, este ensayo no proporciona mecanismos para que tus alumnos aprendan cómo elevar un binomio al cuadrado, ni estrategias para memorizar el teorema de Pitágoras o resolver una ecuación de primer grado con una incógnita, pues el hecho de que logren memorizar las fórmulas o procedimientos de marras, no es suficiente para garantizar que saben matemáticas.

Supongamos que lograste que puedan realizar esto: $${ \left( 3{ x }^{ 2 }+4{ y }^{ 5 } \right)  }^{ 2 }$$
Y encontrar el valor de x en la siguiente figura:




O en la ecuación:
$$4x-8=24$$ 
¿Crees que puedan resolver lo siguiente?:

Problema 1. En la figura hay dos círculos de radio 12, tangentes entre sí e interiormente a un círculo de radio 24. Además, hay un círculo de radio menor tangente a cada uno de estos tres círculos. ¿Cuánto mide el radio del círculo más pequeño?



Más allá de los conceptos que implica (tangente, radio, etc.) encontrar la solución de la pregunta planteada no suele ser fácil para los alumnos (y de hecho tampoco para muchos docentes). Sin embargo, lo único que se requiere para tal propósito es: el teorema de pitagoras, elevar un binomio al cuadrado  y saber resolver una ecuación lineal de primer grado. 
 
La cuestión es ¿cómo saber qué procedimiento seguir? Un buen problema, de entrada debe dejarnos  la sensación de que hay varios caminos (o ninguno) para resolverlo y no revelar pistas sobre cual es el mejor. Por lo tanto, una pregunta fundamental es: ¿cómo desarrollar en nuestros estudiantes una intuición que los lleve a abordar problemas y a utilizar conceptos en contextos poco habituales?

Para responder esta pregunta resolveremos el problema anterior. Una forma de hacerlo es ubicar un triángulo con vértices en los centros de los círculos, grande, mediano y chico; como se obseva en la siguiente figura:




Y aquí está el meollo del asunto, qué debemos hacer para que a nuestros alumnos se les ocurra hacer algo así, es más, qué proceso mental me llevo a mi, a concebir la idea de un triangulo. Paul Lockhart en Lamento de un Matemático aborda esto de la siguiente manera “¿de donde vino mi idea?...”  Posteriormente relaciona esta experiencia con la creación artistica “¿Cómo sabe un pintor dónde aplicar su pincel? Inspiración, experiencia, prueba y error,... Estaba ciego, y de repente vi. De algún modo, fui capaz de crear belleza, profunda y simple, de la nada, transformándome a mí mismo en el proceso. ¿No es este el sentido del arte?...” Y concluye tajantemente “He aquí la razón por la que es tan descorazonador contemplar lo que se está haciendo con las matemáticas en la escuela. Esta rica y fascinante aventura de la imaginación ha sido reducida a un conjunto estéril de «hechos» para memorizar y de procedimientos para seguir.

Una vez abstraido el triángulo podemos representarlo con las dimensiones que el enunciado del problema permite obtener.


     
Y después de unos cuantos argumentos (para demostrar que es un triángulo rectángulo) aplicamos el teorema de Pitágoras:
$${ \left( 12+r \right)  }^{ 2 }={ 12 }^{ 2 }+{ \left( 24-r \right)  }^{ 2 }$$

Desarrollamos los binomios al cuadrado:
$$144+24r+{ r }^{ 2 }=144+576-48r+{ r }^{ 2 }$$
Simplificando y reacomodando obtenemos:
$$72r=576$$
Por lo tanto:
$$r=8$$
Este problema resuelto nos da las primeras lecciones:

  •     Hay que dejar de ver a las matemáticas como una fría ciencia y concebirla como un arte, permitir que nuestros educandos, además de la razón, puedan utilizar su capacidad de imaginar. 
  •     Resolver problemas implica ver cosas donde aparentemente no están y aventurar ideas por el mero afán de romper la desbordante blanquedad de la página (como el poeta o el novelista).


Va otro ejemplo. 
 
Problema 2. Qué fracción del área del siguiente cuadrado está pintada de azul:




Una forma de resolverlo es: por el punto que es vértice común a los triángulos azules (y tambien a los blancos), trazamos dos segmentos de la misma longitud que los lados del cuadrado y paralelos a estos.



 
    
Y otra vez lo mismo, dos trazos que no estaban y colocados en el lugar adecuado nos abren una perspectiva que nos permite resolver el problema. El cuadrado queda dividido en cuatro rectangulos cada uno con dos triángulos iguales, uno blanco y uno azul. Por lo tanto podemos afirmar que la parte azul cubre exactamente la mitad del área total.

También podemos resolverlo algebraicamente. Como no sabemos la longitud del lado del rectángulo la llamaremos $x$ y su área total es ${ x }^{ 2 }$

Tenemos además dos triangulos:




    
Los dos con base igual a $x$ y alturas h1 y h2 respectivamente, por lo tanto sus áreas son: ${ A }_{ 1 }=\frac { x{ h }_{ 1 } }{ 2 } $ y ${ A }_{ 2 }=\frac { x{ h }_{ 2 } }{ 2 }$
      
Si las sumamos tenemos el área azul total:
$${ A }_{ at }=\frac { x{ h }_{ 1 } }{ 2 } +\frac { x{ h }_{ 2 } }{ 2 } =\frac { x\left( { h }_{ 1 }+{ h }_{ 2 } \right)  }{ 2 } $$

¿Qué pasó aquí? ¿por qué se factoriza? En principio porque es posible, pero en realidad se busca simplificar la expresión para ver que información relevante se puede obtener. 

Esta es otra de las deficiencias de la enseñanza actual de las matemáticas, los “buenos alumnos” saben seguir instrucciones, si en el enunciado dice, factoriza, desarrolla, divide, encuentra el valor de $x$, de la hipotenusa, del cateto, o cualquier otra indicación precisa, lo pueden hacer. Pero no se animan a aventurarse (ni siquiera algebraicamente) por caminos desconocidos.

¿Obtuvimos información relevante? Si, en la expresión final del área azul total aparece la suma de las alturas y de la figura se observa que:   
$${ h }_{ 1 }+{ h }_{ 2 }=x$$ 
          
Por si lo dudan aquí está más claro:





La suma de las alturas es igual a la longitud del lado del cuadrado. Establecer esta relación es muy importante y en ocasiones a los alumnos se les dificulta hacerlo. Una vez descubierto esto:
$${ A }_{ at }=\frac { x\left( { h }_{ 1 }+{ h }_{ 2 } \right)  }{ 2 } =\frac { xx }{ 2 } =\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } $$

Lo que significa que el área azul total es la mitad del área del cuadrado.

Este problema nos deja nuevas lecciones:
  •  Tenemos que lograr que nuestros alumnos utilizen las herramientas que han aprendido (y de ser necesario y posible, generar las propias) en el lugar que les plazca y a la hora que quieran, sin necesidad de que una instrucción se los diga.
  •  Es importante buscar relaciones —que no estén explicitamente en el enunciado— entre las variables y trabajar con ellas algebraicamente sin miedo, lo peor que puede pasar es que no nos lleve a ningún lado. 

Para terminar esta parte es bueno recalcar que para resolver un problema se debe —además de utilizar la imaginación, el razonamiento y todas las herramientas disponibles— perder el temor a equivocarnos y saber manejar la frustración de no encontrar la solución de manera inmediata. La historia de las matemáticas esta llena de problemas que han resistido siglos y de otros que siguen esperando una idea genial o herramientas nuevas para sucumbir y abrir nuevas interrogantes que sigan motivando y maravillando a las nuevas generaciones que se encargarán de hacer crecer este universo teórico. Si no transmitimos esa libertad para experimentar ideas y conjeturar soluciones sin temor a que algo salga mal, no estamos enseñando matemáticas de la forma correcta.